Thực đơn
Bất đẳng thức Nesbitt Chứng minhBất đẳng thức này có nhiều cách chứng minh. Dưới đây trình bày 2 cách.
Bắt đầu từ bất đẳng thức Nesbitt (đề xuất năm 1903)
a b + c + b a + c + c a + b ≥ 3 2 {\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}}Biến đổi vế trái:
a + b + c b + c + a + b + c a + c + a + b + c a + b − 3 ≥ 3 2 . {\displaystyle {\frac {a+b+c}{b+c}}+{\frac {a+b+c}{a+c}}+{\frac {a+b+c}{a+b}}-3\geq {\frac {3}{2}}.}Thêm một bước biến đổi:
[ ( a + b ) + ( a + c ) + ( b + c ) ] ( 1 a + b + 1 a + c + 1 b + c ) ≥ 9. {\displaystyle [(a+b)+(a+c)+(b+c)]\left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}\right)\geq 9.} Điều này luôn đúng với mọi a,b,c thực dương (Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với 3 số dương)Chia cả hai vế cho 3 và chuyển vế:
( a + b ) + ( a + c ) + ( b + c ) 3 ≥ 3 1 a + b + 1 a + c + 1 b + c . {\displaystyle {\frac {(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}}}.}Vế trái là trung bình cộng, vế phải là trung bình điều hoà, do vậy bất đẳng thức đúng, ta có điều cần chứng mính.
(Ta cũng có thể sử dụng trung bình nhân của ba biến để chứng minh).
Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c {\displaystyle a\geq b\geq c} , ta có:
1 b + c ≥ 1 a + c ≥ 1 a + b {\displaystyle {\frac {1}{b+c}}\geq {\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {1}{a+b}}}Đặt:
x → = ( a , b , c ) {\displaystyle {\vec {x}}=(a,b,c)} y → = ( 1 b + c , 1 a + c , 1 a + b ) {\displaystyle {\vec {y}}=({\frac {1}{b+c}},{\frac {1}{a+c}},{\frac {1}{a+b}})}Tích vô hướng của 2 vector trên cực đại theo Bất đẳng thức hoán vị nếu chúng được xếp cùng hướng. Đặt y → 1 {\displaystyle {\vec {y}}_{1}} và y → 2 {\displaystyle {\vec {y}}_{2}} là các vector thu được từ y → {\displaystyle {\vec {y}}} chuyển tương ứng 1 và 2 vị trí, ta có:
x → ⋅ y → ≥ x → ⋅ y → 1 {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}\geq {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}_{1}}Cộng 2 bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức Nesbitt.
Thực đơn
Bất đẳng thức Nesbitt Chứng minhLiên quan
Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân Bất ổn tại Ukraina năm 2014 Bất ổn chính trị Thái Lan tháng 4, 2009 Bất động sản Bất đồng chính kiến ở Việt Nam Bất nhị Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz Bất lực tập nhiễm Bất bạo động Bất đẳng thứcTài liệu tham khảo
WikiPedia: Bất đẳng thức Nesbitt http://planetmath.org/%7B%7B%7Burlname%7D%7D%7D